0Pojem simulácia, či simulovať, sa používa čoraz častejšie, a to ako synonymum k slovám predstierať, napodobňovať. Objekt, ktorý do určitej miery napodobňuje funkčnosti, stavy alebo procesy určitého napodobňovaného objektu (trenažér v autoškolách, simulátor voľného pádu), sa označuje pojmom simulátor.

Katedra aplikovanej matematiky a informatiky 

S pojmom simulácia, simulovať, či simulátor sa stretávame i vo viacerých vedných disciplínach, využíva sa v rôznych oblastiach: počítačové systémy, logistické a výrobné systémy, finančné a ekonometrické modely, kozmické lety, vojenské operácie, urbanistické systémy a pod.

Modelovanie a simulácia

Pri projektovaní výrobných procesov často riešime otázky, ako odstrániť problémy v procese, ako inovovať, či vylepšiť proces. Jednou z možností je simulácia výrobného procesu. Simulácia je experimentovanie s počítačovým modelom reálneho výrobného procesu s cieľom optimalizovať priebeh výroby, procesu resp. celého systému. Umožňuje vopred si vyskúšať správanie sa systému po realizácii opatrení, pozrieť sa do budúcnosti a v predstihu odhaliť problémy. Simulácia nie je nástroj, ktorý umožní získať optimálne riešenie problému, ide o podporný nástroj, ktorý testuje dôsledky našich rozhodnutí na simulačnom modeli. Simulačný model umožňuje vykonať množstvo experimentov, analyzovať ich, vyhodnotiť, optimalizovať a výsledky aplikovať na reálny systém. Podľa uznávanej definície je simulácia výskumnou metódou, ktorej podstata spočíva v skúmaní dynamického systému, ktorý je nahradený jeho simulátorom, s ktorým sa potom vykonávajú pokusy, s cieľom získať informáciu o pôvodnom skúmanom systéme. Ide o počítačovú simuláciu, pri ktorej je simulátor tvorený simulačným programom – modelom zavedeným do počítača. Prostredníctvom simulácie je možné vyriešiť viacero problémov, napríklad: najvýhodnejší systém riadenia, najlepšie priestorové rozloženie strojov, optimálna veľkosť skladových zásob, určenie počtu strojov a pomocných zariadení, určenie optimálnej veľkosti obsluhy týchto strojov a zariadení, určenie veľkosti optimálnej dávky, určenie vplyvu porúch a prestojov na výrobný proces a pod.

Niektoré z dôvodov použitia simulácie sú:

• potreba predpovede budúcich dejov,
• reštrukturalizácia výrobného procesu,
• potvrdenie hypotéz,
• zníženie rizika rozhodovania,
• zvýšenie efektívnosti,
• odstránenie nedostatkov vo výrobnom procese bez zásahu do reálneho procesu,
• nemožnosť realizácie výrobného procesu (výrobný systém ešte neexistuje, nie je možné skúmať väčší počet variantov, nie je možné meniť všetky parametre),
• úspora nákladov,
• experimentmi možno spôsobiť poruchy na zariadení,
• experimentovanie na reálnom objekte je nákladné (finančne, časovo).

Pri aplikácii simulácie platia dve základné pravidlá:

1. Prínosy dosiahnuté aplikáciou simulácie by mali byť väčšie ako náklady potrebné na realizáciu simulácie (kvantitatívne a kvalitatívne prínosy). Simulácia je opodstatnená v prípade, ak sú priame prínosy zo simulácie väčšie ako náklady na simuláciu. Na efektívnosť simulácie do značnej miery vplýva čas, kedy je simulácia realizovaná;

1

2. Simulácia by mala byť použitá v počiatočných fázach spracovania projektu, pretože, najväčšie potenciály pre zlepšovanie parametrov systému je možné dosiahnuť v počiatočných fázach, pričom aj náklady s tým spojené sú práve v týchto fázach najnižšie. V procese realizácie a prevádzky zostáva už len málo stupňov voľnosti pre zmeny. Správne a včasné rozhodnutia majú neporovnateľne vyššie prínosy ako optimalizácia v následných etapách projektu.

2 
 Obr. 1 Princíp počítačovej simulácie

Simulácia je vlastne matematické modelovanie, experiment na reálnom systéme sa nahrádza riešením matematického modelu na počítačoch. Princíp počítačovej simulácie spočíva v zostavení simulačného modelu systému, v realizácii experimentov so simulačným modelom, v správnej interpretácii dosiahnutých výsledkov a v aplikácii pre zlepšenie reálneho systému.

Princíp počítačovej simulácie je znázornený na obr. 1. Reálny systém je časť reálneho systému, ktorý je predmetom nášho záujmu. Simulačný model je dynamický model (matematický, logický a pod.), ktorý istým spôsobom zobrazuje reálny systém, jeho štruktúra je súbor pravidiel, na základe ktorých sa model určitým spôsobom správa (generuje dáta).

Modely je možné rozdeliť na matematické a fyzické. Pred zostavením simulačného modelu je potrebné definovať cieľ simulácie (zníženie nákladov, redukcia výroby, optimalizácia rozmiestnenia výrobných zariadení) a získať vstupné údaje. Pri definovaní cieľa využívame hlavne abstrakciu (zanedbanie vedľajších aspektov, redukcia prvkov a ich vlastností, väzieb medzi nimi), štrukturalizáciu (rozklad systému na podsystémy, pričom sa zachováva hierarchia) a analógiu (odvodenie záverov na základe podobnosti s inými systémami). Pod pojmom simulačný experiment sa rozumie súbor simulačných behov – viacnásobné opakovanie základného cyklu simulácie pre určený časový interval a parameter simulácie s čiastočným vyhodnotením výsledkov. Ide teda o množinu simulačných operácií, pri ktorých dochádza k zmene vstupných veličín.

Simulácia Monte Carlo

Monte Carlo patrí medzi algoritmy pre simuláciu systémov. Metódou Monte Carlo sa rozumie numerické riešenie pravdepodobnostných aj deterministických úloh pomocou mnohokrát opakovaných pravdepodobnostných pokusov. Ide o stochastické metódy používajúce pseudonáhodné čísla. Základným cieľom tejto metódy je určenie strednej hodnoty veličiny, ktorá je výsledkom náhodného javu. Vytvorí sa počítačový model tohto javu, po uskutočnení dostatočného množstva simulácii sa dáta spracujú pomocou štatistických metód.

Existujú dva prístupy pri riešení úloh metódou Monte Carlo: prístup založený na geometrickej pravdepodobnosti a prístup založený na odhade strednej hodnoty náhodnej veličiny. Algoritmus metódy je založený na výbere náhodných čísel zo zadaných štatistických rozdelení (tab. 1). Rozdelenie pravdepodobnosti, ak je k dispozícii dostatok dát,a je možné otestovať pomocou Pearsonovho testu (Chi-Square test), Kolmogorov-Smirnov testu a jednoduchej vizuálnej analýzy histogramu. V prípade, že nie sú k dispozícii historické dáta, stanovenie pravdepodobnostného rozdelenia je subjektívne a je založené na odbornom posúdení. Samotná simulácia je proces náhodného výberu konkrétnych hodnôt rizikových faktorov z preddefinovaných rozdelení.

Simulácia (počet simulačných behov sa odporúča minimálne 1 000-krát) vyberie náhodné číslo a aplikuje ho v zadanom modeli. Náhodnosť a objektivita je zabezpečená generátorom náhodných, resp. pseudonáhodných čísel. Výstupom simulácie je pravdepodobnostné rozdelenie cieľovej premennej, čiže riešenie má pravdepodobnostný charakter a je závislé na tom, z akého rozdelenia sú jednotlivé hodnoty generované. Po vykonaní simulácie sa zostavia súhrnné štatistiky ukazovateľov hodnotenia – aritmetický priemer, smerodajná odchýlka, modus, medián, variačný koeficient, pravdepodobnosť zisku alebo strát. Výsledky je možno znázorniť aj graficky.

 tab1
 Tab. 1 Štatistické rozdelenia pravdepodobnosti

Simulácia v MS Excel

Na simuláciu modelov v rôznych náhodných procesoch je možné použiť široko dostupný tabuľkový procesor Microsoft Excel (Vložiť – Funkcia). Na generovanie náhodných čísel je možné použiť príkaz RAND(), dostaneme náhodné číslo s rovnomernou distribúciou z intervalu (0,1). Na určenie percentuálneho výskytu náhodných čísel napríklad v štyroch intervaloch, sa používa funkcia COUNTIF. Na vygenerovanie náhodného čísla v rozsahu napríklad od 50 do 100 sa používa príkaz INT(RAND)*50 + 50. Stlačením F9 prebehne ďalší simulačný beh (obr. 2, 3).

2.5 
 Obr. 2 Generovanie náhodných čísel a určenie percentuálneho výskytu

 

3 
 Obr. 3 Výber náhodného čísla z intervalu

Uvedené príklady je možné aplikovať napríklad na určenie optimálneho množstva zásob. Majiteľ skladu nakupuje tovar po 20 eur za balenie a predáva ho po 30 eur za balenie, ak mu v sklade do určitého termínu zostane tovar, tak ho predáva s 50-percentnou zľavou. To znamená, že ak bude dopyt po tovare vyšší ako je objednané množstvo, príde o zisk z nedostatku, ale ak bude dopyt po tovare nižší ako objednané množstvo, príde o zisk v dôsledku zľavy.

Ak je dopyt (d) po tovare vyšší ako objednané množstvo (q), rovnica zisku je: z=(30-20)*q
Ak je dopyt (d) po tovare nižší ako objednané množstvo (q), rovnica zisku je: z=30*d-20*q+15*(q-d)

Dopyt predstavuje pravdepodobnostnú premennú, keďže nie je známy, čiže sa nedá určiť zisk. Predpokladajme, že dopyt bude hodnota z intervalu d ∈(50, 100) a objednané množstvo q = (60, 70, 80, 90, 100). Metódou Monte Carlo vykonáme simuláciu najprv pre 10 náhodných pokusov pre úroveň objednaného množstva q = 80.

tab2 
 Tab. 2 Simulácia Monte Carlo pre q = 80

Ak je dopyt d=98 a objednané množstvo q=80, d>q, hodnota zisku je: z=(30-20)*q=10*80=800.
Ak je dopyt d=56 a objednané množstvo q=80, d<q, hodnota zisku je: z=30*d-20*q+15*(q-d)=15*d-5*q=15*56-5*80=440.
Priemerná hodnota zisku z desiatich náhodných pokusov je 654,5 eur a pravdepodobnosť zisku napríklad nad 600 eur je 60 percent. Priemerný zisk vypočítaný simuláciou so sto a tisíc opakovaniami pre objednané množstvo q = (60,70,80,90,100) je v tabuľkách 3 a 4; je tam uvedená aj pravdepodobnosť zisku nad 600 eur.

 tab3
 Tab. 3 Výsledky simulácie pre 100 náhodných pokusov

 

tab4 
 Tab. 4 Výsledky simulácie pre 1 000 náhodných pokusov

Maximálny priemerný zisk sa dosiahne pri objednanom množstve 80 balení tovaru. So zvyšovaním počtu náhodných pokusov sa rozdelenie pravdepodobnosti početnosti očakávaného zisku približuje ku skutočnej očakávanej hodnote (tab. 5, obr. 4).

 tab5
 Tab. 5 Rozdelenia pravdepodobnosti pre q = 80

 

4 
 Obr. 4 Graf rozdelenia pravdepodobnosti

Na tomto príklade je názorná ukážka princípu metódy Monte Carlo, t. j. opakovaným výberom z rozdelenia pravdepodobnosti vstupných prvkov bolo odvodené rozdelenie pravdepodobnosti výstupných premenných v modeli.

Záver

V príspevku je na príklade s použitím metódy Monte Carlo demonštrovaná možnosť jej využitia; je to univerzálna metóda riešenia matematických problémov. Simulácia má významné a stabilné miesto vo výrobnom procese a aj v podnikovej praxi. Nie je to prostriedok na vyriešenie všetkých problémov, ale nástroj na rýchlu optimalizáciu a zlepšenie. Simulácia nie je lacná metóda, vyžaduje drahé programové vybavenie, počítače, čas a najmä špecialistov, ktorí ju dokážu správne používať. Aj napriek tomu však prínosy zo simulácie sú niekoľkonásobne vyššie ako náklady na simulačný projekt.

Použitá literatúra:

[1] KOČIŠKO, M.: Simulácia výrobných systémov, FVT TUKE 2016, ISBN 80-8073-417-8
[2] PEKÁR, J.: Softvérová podpora rozhodovania v prostredí Microsoft Excel, EKONOM Bratislava, 2010. ISBN 978-80-225-2889-4
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method
[4] Trebuňa, P. a kol.: Modelovanie v priemyselnom inžinierstve, TUKE, 2015. ISBN 978-80-553-1953-7

TEXT/FOTO MGR. GABRIELA IŽARÍKOVÁ, PHD., TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH, STROJNÍCKA FAKULTA