1

Nasledujúci článok sa zaoberá trendom vývoja napätosti pri matematickom zisťovaní a meraní koncentrácie napätia vo vzorkách s plynulo sa transformujúcimi vrubmi. Pozorované vzorky reprezentujú spojovacie elementy rozličných konštrukčných prvkov.

Napätia vybratých vzoriek boli zistené experimentálnou cestou. Na tento účel sme zvolili metódu reflexnej fotoelasticimetrie. Metóda je vhodná na stanovenie napätosti v celej skúmanej oblasti, a to zvlášť na sledovanie koncentrácie napätí a jeho gradientu v mieste vrubu. Na sledovanie poľa napätí, reprezentovaných farebným spektrom izochromatických pruhov sa v reflexnej fotoelasticimetrii používa vrstva, ktorá je po zaťažení schopná dočasného dvojlomu svetla. Na stanovenie predikcie napätosti ďalších vzoriek s väčšími vrubmi sme zvolili jednu zo štatistických metód.

Experimentálne meranie napätosti

Vzorky boli vyrobené z fotocitlivej reflexnej vrstvy PS-1A, ktorá je schopná po zaťažení vyvolať dočasný dvojlom svetla. Ten je charakterizovaný izochromatickými pruhmi, ktoré poskytujú informácie o napätosti vyšetrovanej vzorky. Izochromatické pruhy sú reprezentované farebným spektrom, tvoreným zložkami červenej, zelenej a modrej farby (R, G, B) a pohybujúcimi sa v intervale 0 až 255 jednotiek. Pomocou zvoleného postupu a na základe obrazu izochróm je možné rýchle dospieť k záverom o miestach vysokej koncentrácie napätia a tieto miesta kvantitatívne vyhodnotiť. Na pozorovanie izochromatických pruhov sa použil odrazový polariskop model LF/Z-2 fy VISHAY. Farebné spektrum izochróm sa zaznamenalo digitálnym fotoaparátom vo formáte *.raw. Tento postup prostredníctvom záznamového média bol zvolený kvôli odstráneniu subjektívnych omylov experimentátora a urýchleniu experimentu. K chybám dochádza pri nesprávnej identifikácii farieb, a tým aj k stanoveniu poradia izochromatického pruhu N v meranom bode. Na identifikáciu farebného spektra, teda aj stanovenie poradia izochromatického pruhu, sa použil program „Photoelast“. Program bol vytvorený našim pracoviskom [1, 2]. Program umožňuje z načítaného farebného spektra špecifikovať a súčasne separovať hlavné normálové napätia, ako aj ich smery. Pre napäťovú analýzu sme sa rozhodli použiť metódu charakteristík. Do úvahy prichádzali aj iné metódy (metóda rozdielov šmykových napätí, metóda integrovania pozdĺž trajektórií hlavných napätí a iné [3]). Sieť charakteristických kriviek, vytvorených metódou charakteristík, sa najviac približuje krivkám (oproti dobre známej metóde pravouhlej siete), vznikajúcim pri dočasnom lome svetla fotocitlivým modelom či reflexnou vrstvou. Táto metóda si nevyžaduje dodatočné informácie získané z izoklín, a teda umožňuje priamo z načítaného poradia N izochromatického pruhu stanoviť hodnoty separovaných hlavných napätí, prípadne ich smerov. Metóda charakteristík je korektná v prípade dvoch nezávisle premenných a dvoch neznámych funkcií. Metóda, realizovaná pomocou doplnkovej experimentálnej informácie, nás priviedla k zostaveniu sústavy diferenciálnych rovníc hyperbolického typu. Tie v prípade sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi funkciami sú riešiteľné numerickými metódami a toto riešenie je zvlášť vhodné pre programovanie v prostredí komerčného programu. Na obr. 1 sú zobrazené tvary skúmaných vzoriek. Ich počet bol päť a líšili sa iba veľkosťou polomeru vrubu ri. Vzorky boli vyrobené z materiálu s modulom pružnosti E = 2,5 GPa a Poissonovým číslom μ = 0,38. Vzorky sme plynulo zaťažovali silou od počiatočnej hodnoty F1 = 0 N až po konečnú Fi = 12 N. Nárast tejto sily bol pre všetky skúmané vzorky zhodný.

2 
 Obr. 1.: Rozmery konštrukčného prvku

 

Výsledok testu

V tab. 1 sú uvedené rozmery polomeru vrubu ri a namerané hodnoty poradia izochromatického pruhu Ni, a to v meranom bode „A“ vyšetrovaných vzoriek. Vzorky vyrobené z reflexného materiálu PS-1A s rozmermi b = 110 mm; b1 = 2 mm; b2 = 10 mm; h1 = 11,5 mm; h2 = 14 mm; h3 = 9 mm; d = 5 mm boli zaťažované ťahovou silou v zaťažovacom zariadení. Vyhodnotenie sa realizovalo programom „Photoelast“. Program je zostavený tak, že na určenie smerov hlavných napätí sa nevyžaduje „poznať“ izoklinné pruhy, ale pri určení týchto smerov vychádza z izochromatických pruhov. Súčasne je schopný z načítaných izochromatických pruhov separovať hlavné normálové napätia σ1, σ2. Z tohto dôvodu nie je potrebné na separáciu a určenie smerov hlavných napätí použiť dodatočné merania. Týmto riešením je podstatne skrátený čas experimentu. Na obr. 2 sú zobrazené izochromatické pruhy pri postupnom zaťažovaní jednotlivých vzoriek. Pre rozsiahlosť fotodokumentácie uvádzame iba jeden prípad, a to vzorky s polomerom vrubu r5 = 7,5 mm.

3
 Tab. 1.: Namerané hodnoty separovaných hlavných napätí

 

4 
 Obr. 2.: Izochromatické pruhy pri postupnom zaťažovaní vzorky č. 5

 

Štatistické určenie trendu vývoja napätosti na vzorkách

Základnou úlohou štatistickej analýzy dát uvedených v tab. 1 bolo odhadnúť závislosť medzi poradím izochromatického pruhu N (závisle premenná) a polomerom vrubu r (nezávisle premenná) vhodnou regresnou funkciou a taktiež určiť stupeň sily, s akou sa daná závislosť medzi rôznymi rušiacimi vedľajšími faktormi prejavuje. Štatistickú analýzu nameraných hodnôt sme realizovali použitím softvéru MATLAB. Prvým krokom analýzy bolo orientačné posúdenie druhu a sily závislosti medzi skúmanými kvantitatívnymi znakmi pomocou korelačného diagramu, v ktorom je každá dvojica údajov graficky znázornená jedným bodom v rovine. Druh závislosti sa odhaduje pomocou krivky, ktorá sa dobre hodí k nameraným hodnotám. V našom prípade sme zvolili polynomický regresný model 1. a 2. stupňa (pozri obr. 3). Metodológiu a vzťahy pre aplikáciu metódy najmenších štvorcov, použité reziduálne charakteristiky, ako aj použité štatistické testy nebudeme v tomto príspevku uvádzať, sú podrobne rozpracované vo viacerých publikáciách, napr. [4, 5, 6, 7].

5 
 Obr. 3.: Porovnanie dvoch polynomických modelov s nameranými hodnotami

 

Po odhade parametrov regresných funkcií, ktoré pripadajú do úvahy, sa žiada ešte posúdiť vhodnosť výberu funkcií podľa zvolených kritérií. Ako kritériá pri rozhodovaní o vhodnosti regresnej funkcie sme použili tieto reziduálne charakteristiky: index determinácie R2, resp. modifikovaný index determinácie R*2, ďalej výberovú reziduálnu smerodajnú odchýlku RMSE a priemernú absolútnu percentuálnu chybu MAPE. Základné štatistické výstupy pre oba zvolené regresné modely sú uvedené v tab. 2.

6 
 Tab. 2.: Základné štatistické výstupy pre zvolené modely

 

V tab. 2 znamenajú hodnoty b0, b1, b2 nevychýlené bodové odhady neznámych regresných koeficientov b0, b1, b2 a boli získané metódou najmenších štvorcov. Symbolom N je označená vypočítaná (teoretická) hodnota premennej N. Index determinácie R2 určuje, akú časť celkovej variability pozorovaných (empirických) hodnôt závisle premennej je možné daným modelom vysvetliť a platí preň vzťah 0 ≤ R2 ≤ 1. Z hodnôt indexu determinácie, ktoré sú blízke 1, je pri dostatočne veľkom počte pozorovaní možné usudzovať o tom, že na odhad hodnôt závisle premennej bola zvolená vhodná regresná funkcia. Naopak, z hodnôt indexu determinácie, ktoré sú blízke 0 sa dá usúdiť, že priebeh závislosti bol opísaný nevhodnou regresnou funkciou. Index determinácie pre malé rozsahy výberov nadhodnocuje tesnosť závislosti a, navyše, závisí od počtu parametrov regresnej funkcie. Preto sa používa jeho upravená hodnota vzhľadom na počet parametrov a rozsah výberu, tzv. modifikovaný index determinácie R*2, ktorý je nevychýleným odhadom indexu determinácie [5, 6].

7 
 Tab. 3.: Bodová a intervalová predikcia poradia izochromatického pruhu

 

Štatistika RMSE je bodovým odhadom smerodajnej odchýlky s náhodnej zložky. Charakteristika MAPE sa používa ako ukazovateľ presnosti jednotlivých prognóz oproti skutočnosti. Neexistuje žiadna všeobecne prijatá stupnica, ktorá by určovala, aké hodnoty MAPE sú v analytickej praxi prijateľné. Ak je vypočítaná hodnota MAPE < 10 %, interpretuje sa to ako excelentná predpoveď, hodnota medzi 10 a 20 % ako dobrá predpoveď, medzi 20 a 50 % ako akceptovateľná predpoveď a nad 50 % ako nepresná predpoveď [4]. Pri porovnávaní viacerých regresných funkcií sa za vhodnejší považuje ten regresný model, pri ktorom R2, resp. R*2 dosahujú vyššie hodnoty a charakteristiky RMSE a MAPE menšie hodnoty [5]. V našom prípade porovnaním dvoch regresných modelov na základe výsledkov reziduálnych charakteristík môžeme skonštatovať, že oba modely dosahujú veľmi dobré výsledky, ktoré sa navzájom líšia len nepatrne. Preto je potrebné realizovať štatistický test, na základe ktorého sa rozhodneme, či si zvolíme polynomický regresný model 1. alebo 2. stupňa. Na testovanie štatistickej významnosti jednotlivých koeficientov regresného modelu sa používa t-test, pri ktorom sa nulová hypotéza H0: βi = 0 obyčajne testuje oproti obojstrannej alternative H1: βi ≠ 0. MATLAB má tento individuálny t-test o nulovej hodnote regresného koeficienta implementovaný v podobe M funkcie regstats [6]. Pre kvadratický regresný model sme testovali nulovú hypotézu H0: β2 = 0 proti alternatívnej hypotéze H1: β2 ≠ 0 na hladine významnosti α = 0,05. Pre testovaciu štatistiku a p-hodnotu sme dostali výsledky t2 = 0,5293 a p = 0,6495. Pretože p-hodnota je väčšia ako hladina významnosti 0,05, hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť a môžeme konštatovať, že kvadratický člen je možné z modelu vypustiť. Pre lineárny regresný model sme testovali nulovú hypotézu H0: β1 = 0 proti alternatívnej hypotéze H1: β1 ≠ 0 na hladine významnosti α = 0,05 s týmito výsledkami t1 = −12,4744 a p = 0,0011. Pretože p-hodnota je menšia ako hladina významnosti 0,05, hypotézu H0 zamietame a parameter β1 považujeme za štatisticky významný, a preto ho nie je možné z modelu vypustiť. Na základe realizovanej štatistickej analýzy sme na modelovanie závislosti poradia izochromatického pruhu N od polomeru vrubu r zvolili lineárny polynomický model N = β0 + β1r + ε, kde ε je náhodná chyba. Tento model sme ďalej použili na predikciu. V prostredí cftool sme získali bodové odhady strednej hodnoty poradia izochromatického pruhu pri meniacich sa hodnotách polomeru vrubu od hodnoty 1 napríklad s krokom 1 až po hodnotu 10 mm, ktoré sme doplnili aj 95-percentným intervalom predikcie. Výsledky sú zhrnuté v tab. 3.

Záver

Spojením experimentálnej metódy PhotoStress, programu „Photoelast“ a metódy matematickej štatistiky sa stanovil trend zmeny poradia izochromatického pruhu Ni, a v konečnom dôsledku aj napätosti na vzorkách, ktorých polomer vrubu ri sa menil od hodnoty 1 s krokom 1 až po hodnotu 10 mm. Túto zmenu môžeme sledovať v priloženej tabuľke 3. Touto prácou bola overená zvolená metodika postupu, ktorú je možné v budúcnosti aplikovať aj pri riešení podobných úloh. Meranie na malom počte vzoriek bolo realizované kvôli odôvodnenému nárastu ceny experimentu.

Literatúra:

[1] FRANKOVSKÝ, P.; TREBUŇA, F.: Application of photostress method in stress analysis of a rotating disc. In: Metalurgija. Vol. 53, no. 4 (2014), pp. 541 – 544. ISSN 0543-5846
[2] OSTERTAG, O.: Automatizácia experimentálneho určovania napätosti konštrukčných prvkov prostredníctvom fotoelasticity. Habilitačná práca, Košice, 2006
[3] TREBUŇA, F.; ŠIMČÁK, F.: Príručka experimentálnej mechaniky. Typo Press Košice, 2007, ISBN 970 80 8073 816 7
[4] MAKRIDAKIS, S.; WHEELWRIGHT, S. C.: Forecasting methods and applications, John Wiley & Sons, New York, 1998
[5] MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C.: Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, New York, 2003
[6] OSTERTAGOVÁ, E.: Modelling using polynomial regression, in: Procedia Engineering, 2012, No. 48, pp. 500 – 506
[7] OSTERTAGOVÁ, E.: Aplikovaná štatistika. Equilibria Košice, 2013

TEXT DOC. ING. OSKAR OSTERTAG, PHD1., PHDR. EVA OSTERTAGOVÁ, PHD2., DOC. ING. PETER FRANKOVSKÝ, PHD1., 1KATEDRA APLIKOVANEJ MECHANIKY A MECHATRONIKY